Előadó: Geher György Pál (Szeged)

Időpont és hely: 2016. 03. 16., 16:03, H306

(Peter Šemrllel (Ljubljanai Egyetem) közös munka) Kivonat: Legyen $H$ egy komplex vagy valós Hilbert tér, és jelölje $P_1(H)$ a $H$-n ható 1-rangú ortogonális projekciók halmazát. Wigner tétele karakterizálja a $P_1(H)$ szürjektív izometriáit a gap metrikára nézve (amit az operátor normából nyerünk), és kimondja, hogy ezeket a transzformációkat mindig a $H$ egy unitér vagy egy antiunitér operátora indukálja. Másként megfogalmazva: a Wigner tétel a $H$ 1-dimenziós altereinek azon szürjektív transzformációit írja le, melyek szögtartóak. Megjegyezzük, hogy $x,y\in H$, $\|x\| = \|y\| = 1$ esetén a vektorok által generált $[x]$ és $[y]$ alterek által bezárt szög $\arccos|\langle x,y \rangle|$.

Ennek a tételnek nagyon sok bizonyítása ismert, és még mostanában is születnek újabbak. Fontossága miatt sokféleképpen általánosították is. Ennek egyik kiemelkedő példája Uhlhorn tétele, mely azt mondja ki, hogy a $H$ 1-dimenziós altereinek azon bijekciói, melyek megőrzik az ortogonalitást mindkét irányban (azaz két 1-dimenziós altér pontosan akkor merőleges egymásra, ha ez a képükre is igaz), mind unitér vagy antiunitér operátorok által indukáltak. Vegyük észre, hogy a Wigner tétel feltételeit jelentősen gyengíti ez a tétel, mégis ugyanazt a konklúziót vonja maga után. Előadásomban ismertetni fogom a Wigner tétel azon főbb általánosításait, amelyek 1-rangú ortogonális projekciók (vagy 1-dimenziós alterek) helyett $n$-rangúakkal ($n$-dimenziósakkal) foglalkoznak. Ezek a tételek Fernanda Botelho, Győry Máté, James Jamison, Molnár Lajos és Peter Šemrl neveihez fűződnek. Ezek után ismertetni fogom, hogy Peter Šemrllel mivel sikerült ehhez a témakörhöz hozzájárulnunk.

Referenciák:

[1] F. Botelho, J. Jamison, and L. Molnár, Surjective isometries on Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 265 (2013), 2226-2238.

[2] W.-L. Chow, On the geometry of algebraic homogeneous spaces, Ann. Math. 50 (1949), 32-67.

[3] Gy.P. Geh\'er and P. \v Semrl, Isometries of Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 270 (2016), 1585-1601.

[4] M. Gy\" ory, Transformations on the set of all $n$-dimensional subspaces of a Hilbert space preserving orthogonality, Publ. Math. Debrecen 65 (2004), 233-242.

[5] L. Molnár, Transformations on the set of all $n$-dimensional subspaces of a Hilbert space preserving principal angles, Comm. Math. Phys. 217 (2001), 409-421.

[6] P. \v Semrl, Orthogonality preserving transformations on the set of $n$-dimensional subspaces of a Hilbert space, Illinois J. Math. 48 (2004), 567-573.

[7] U. Uhlhorn, Representation of symmetry transformations in quantum mechanics, Ark. Fysik 23 (1963), 307-340.

[8] E.P. Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektrum, Fredrik Vieweg und Sohn, 1931.